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Thalès : la réciproque et l'agrandissement-réduction

Prouver que deux droites sont parallèles sans règle ni équerre, juste avec deux fractions à comparer.

MathématiquesCollège3e

En menuiserie, tu ne mesures pas un angle pour vérifier que deux planches sont parallèles : tu
compares des longueurs. C'est exactement ce que fait la réciproque de Thalès. 🔨

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C'est quoi le délire ?

Thalès utilise des parallèles pour calculer des longueurs. La réciproque fait l'inverse :
elle part des longueurs pour démontrer que deux droites sont parallèles.

Bonus : quand (MN) // (BC), le petit triangle AMN est une réduction du grand triangle ABC.
Le nombre qui multiplie toutes les longueurs, c'est le coefficient k.

La formule magique

Configuration : A, M, B alignés et A, N, C alignés.

  • Réciproque de Thalès : si AM/AB = AN/AC ET si les points sont **alignés dans le même

ordre (M entre A et B ⟺ N entre A et C), alors (MN) // (BC)**

  • Les deux conditions sont obligatoires : ordre différent → pas de conclusion
  • Si les rapports sont différents, alors les droites ne sont pas parallèles (c'est la contraposée)
  • Quand les droites sont parallèles, k = AM/AB = AN/AC = MN/BC
  • k < 1 → réduction ; k > 1 → agrandissement
  • Un agrandissement-réduction conserve les angles et multiplie toutes les longueurs par k

On teste sur un exemple

A, M, B alignés dans cet ordre ; A, N, C alignés dans cet ordre. AM = 3 cm, AB = 7,5 cm, AN = 4 cm,
AC = 10 cm.

  • AM/AB = 3 ÷ 7,5 = 0,4
  • AN/AC = 4 ÷ 10 = 0,4
  • Les rapports sont égaux et les points sont alignés dans le même ordre → (MN) // (BC)

Bonus : AMN est une réduction de ABC de coefficient k = 0,4. Donc si BC = 12 cm, alors
MN = 0,4 × 12 = 4,8 cm.

Le piège classique

Oublier la condition d'ordre des points. Deux rapports égaux ne suffisent pas : si M est entre
A et B mais que C est entre A et N, la conclusion tombe. Autre piège : mélanger les rapports.
On compare AM/AB avec AN/AC, jamais avec AC/AN. Petit en haut, grand en bas, des deux côtés.

L'astuce pour retenir

« Rapports égaux + même ordre = parallèles. » Et pour le coefficient : « k, c'est petit sur grand ».
Au brevet, la question « (MN) et (BC) sont-elles parallèles ? Justifie » revient sans arrêt :
calcule les deux quotients séparément, puis compare.

Teste-toi

Réponds sans regarder la fiche — 0/3

1. Pour appliquer la réciproque de Thalès, il faut vérifier…

2. AM/AB = 0,4 et AN/AC = 0,5, avec les points alignés dans le même ordre. On conclut que…

3. Un triangle est une réduction d'un autre de coefficient k = 0,5. Ses angles sont…

Ça coince encore ? Un formateur de mathématiques te l’explique en vrai, à ton rythme, en visio.Trouver un formateur

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