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Pyramides et cônes : patrons et volumes

Savoir combien de glace tient vraiment dans un cornet, et pourquoi il y a toujours un tiers dans la formule.

MathématiquesCollège4e

Un cornet de glace et un pot de glace de même diamètre et même hauteur : le pot en contient
trois fois plus. Toujours. C'est ce fameux « tiers » qui fait toute la différence. 🍦

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C'est quoi le délire ?

Une pyramide, c'est une base polygonale (carré, triangle, rectangle…) et des faces
triangulaires qui montent vers un même point : le sommet.

Un cône de révolution, c'est la même idée avec un disque comme base : on l'obtient en
faisant tourner un triangle rectangle autour d'un de ses côtés de l'angle droit.

Dans les deux cas, la hauteur est la distance du sommet à la base, mesurée
perpendiculairement. Ce n'est PAS l'arête ni la longueur du bord penché (la génératrice).

Le patron d'une pyramide : la base + les faces triangulaires dépliées. Celui d'un cône : le
disque de base + un secteur de disque (une part de camembert) pour la surface latérale.

La formule magique

  • Pyramide : V = (Aire de la base × hauteur) ÷ 3
  • Cône de révolution : V = (π × r² × h) ÷ 3
  • Le tiers est là dans les deux cas : une pyramide vaut le tiers du prisme de même base et

même hauteur.

  • Unités : longueurs en cm → volume en cm³. Toutes les longueurs dans la même unité.

On teste sur un exemple

Le cornet. Rayon r = 3 cm, hauteur h = 12 cm.

  • π × r² = π × 3² = π × 9
  • π × 9 × 12 = 108π
  • V = 108π ÷ 3 = 36π ≈ 113,1 cm³ (arrondi au dixième)

Soit un peu plus de 11 cl de glace. Correct pour un goûter.

La pyramide. Base carrée de 6 cm de côté, hauteur 10 cm.

  • Aire de la base = 6 × 6 = 36 cm²
  • V = (36 × 10) ÷ 3 = 360 ÷ 3 = 120 cm³

Le piège classique

Oublier de diviser par 3. C'est l'erreur numéro un : tu calcules le volume du pavé ou du
cylindre, et tu t'arrêtes là. Résultat : trois fois trop grand.

Deuxième piège : utiliser la longueur de l'arête penchée à la place de la hauteur. La
hauteur tombe droit sur la base, à la verticale. Si l'énoncé te donne l'arête, il faut souvent
passer par Pythagore pour retrouver la hauteur.

L'astuce pour retenir

« Base × hauteur, puis je partage en trois. Pointu = un tiers. »

Teste-toi

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1. Le volume d'une pyramide se calcule avec…

2. Une pyramide a une base d'aire 12 cm² et une hauteur de 5 cm. Son volume est…

3. Un cône a pour rayon 5 cm et pour hauteur 6 cm. Son volume vaut environ…

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