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Le raccourci pour simplifier une fraction du premier coup, sans tâtonner pendant dix minutes.
Tu as 84 bonbons et 360 cartes à répartir en lots identiques, sans reste. Combien de lots au
maximum ? La réponse s'appelle le PGCD, et elle sert aussi à simplifier les fractions. 🍬
Le PGCD de deux nombres, c'est le Plus Grand Commun Diviseur : le plus grand nombre qui
divise les deux à la fois.
Une fraction est irréductible quand on ne peut plus la simplifier, c'est-à-dire quand le
numérateur et le dénominateur n'ont plus de diviseur commun à part 1. On dit alors qu'ils sont
premiers entre eux. Pour y arriver d'un coup : tu divises en haut et en bas par le PGCD.
Deux méthodes au choix, les deux sont au programme :
communs avec le plus petit exposant
un reste nul. Le PGCD est le dernier reste non nul
Rends 84/360 irréductible.
Facteurs premiers : 84 = 2² × 3 × 7 et 360 = 2³ × 3² × 5.
Communs : 2² et 3 → PGCD = 4 × 3 = 12.
Contrôle par Euclide : 360 = 4 × 84 + 24 ; 84 = 3 × 24 + 12 ; 24 = 2 × 12 + 0. Dernier reste non
nul : 12.
Donc 84/360 = 7/30, et c'est fini : 7 et 30 n'ont plus rien en commun.
Simplifier par un diviseur commun qui n'est pas le plus grand, et s'arrêter là. 84/360 = 42/180
est vrai… mais pas irréductible. Autre erreur : dire que le PGCD est le plus grand des deux nombres.
Non : le PGCD est toujours inférieur ou égal au plus petit des deux.
« PGCD = ce qu'ils ont en commun, en version maximale. » Et le réflexe brevet : dès qu'on te demande
« combien de lots identiques au maximum », c'est un PGCD déguisé.
Réponds sans regarder la fiche — 0/3
1. Le PGCD de 18 et 24, c'est…
2. La fraction 45/60 rendue irréductible donne…
3. Deux nombres sont premiers entre eux quand…
Plier, agrandir, déplier une boîte : trois gestes qui expliquent toute la géométrie de fin d'année.
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