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Deux milieux repérés, et tu obtiens gratuitement un parallélisme et une longueur divisée par deux.
Une échelle de meunier, une étagère montée en travers d'un triangle de charpente : la barre
placée à mi-hauteur est toujours parallèle à la base, et deux fois plus courte. Pas un hasard. 🪜
Dans un triangle, si tu relies les milieux de deux côtés, tu obtiens un segment qui a deux
propriétés d'un coup : il est parallèle au troisième côté, et il en mesure la moitié.
C'est un cas particulier de Thalès, mais tellement fréquent qu'il a son propre nom : le
théorème des milieux. Il existe en deux versions, qu'il faut savoir distinguer.
Dans un triangle ABC, avec M milieu de [AB] et N milieu de [AC] :
et qui est parallèle à (BC) coupe [AC] en N, alors N est le milieu de [AC].
Version 1 : deux milieux → parallèle + moitié.
Version 2 : un milieu + une parallèle → un deuxième milieu.
Une ferme de charpente forme un triangle ABC dont la base [BC] mesure 4,80 m. On veut poser
une entretoise entre les milieux M de [AB] et N de [AC].
Le charpentier commande une pièce de 2,40 m. Aucun mètre ruban en hauteur, aucune échelle.
Inversement, si BC = 4,80 m et qu'on mesure MN = 2,40 m sans savoir où sont M et N, ça **ne
suffit pas** : il faut savoir que ce sont des milieux, ou que (MN) // (BC).
Croire que ça marche avec un seul milieu. Un milieu tout seul ne donne rien : il faut soit
deux milieux, soit un milieu + le parallélisme.
Et attention au sens de la division : c'est le grand côté (le troisième) qui vaut le double
du segment des milieux, pas l'inverse. MN = BC/2, donc BC = 2 × MN.
« Deux milieux reliés : parallèle au troisième côté, et deux fois plus court. »
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1. M et N sont les milieux de [AB] et [AC]. Alors (MN) est…
2. Dans un triangle ABC, M et N milieux de [AB] et [AC], avec MN = 7 cm. Alors BC mesure…
3. M est le milieu de [AB] et la parallèle à (BC) passant par M coupe [AC] en N. Alors…
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